Труды по теории чисел
Год выпуска: 1959
Автор: Карл Фридрих Гаусс
Жанр: Теория чисел
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы
Количество страниц: 980
Описание: Содержащиеся в этом сочинении исследования относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми числами, в то время как дробные числа остаются вне рассмотрения в большинстве случаев, а мнимые — всегда. Так называемый неопределённый или диофантов анализ, представляющий собой учение о том, как из бесконечного числа решений, удовлетворяющих неопределённому уравнению, выбирать те, которые являются целочисленными или хотя бы рациональными (а в большинстве случаев ещё и положительными), не исчерпывает этой дисциплины, а представляет собой лишь очень специальную её часть, которая относится ко всей дисциплине приблизительно так же, как учение о преобразовании и решении уравнений (алгебра) относится к анализу в целом. Именно, как все исследования, которые касаются общих свойств числовых величин и связей между ними, принадлежат к области анализа, так целые числа (а также и дробные, поскольку они определяются через целые) составляют предмет изучения арифметики. Но так как то, что обычно принято называть арифметикой, почти не выходит за пределы искусства считать и вычислять (т.е. представлять числа в определённом виде, например, в десятичной системе, и производить над ними арифметические операции) с добавлением ещё некоторых вопросов, которые или вовсе не относятся к арифметике, как, например, учение о логарифмах, или имеют силу не только для целых чисел, но и для любых числовых величин, то представляется целесообразным различать две части арифметики и только что упомянутое причислять к элементарной арифметике, а все общие исследования о внутренних связях между целыми числами относить к высшей арифметике, о которой одной здесь и будет идти речь.
К высшей арифметике относится то, что Эвклид с присущими древним изяществом и строгостью изложил в «Началах», в книге VII и следующих; однако это представляет собой лишь первые шаги этой науки. Знаменитое сочинение Диофанта, целиком посвящённое проблемам неопределённого анализа, содержит много исследований, которые вследствие их трудности и красоты методов заставляют быть высокого мнения об уме и проницательности их автора, особенно, если учесть незначительность вспомогательных средств, находившихся в его распоряжении. Так как, однако, эти задачи больше требуют находчивости и сообразительности, чем глубоких методов, и, кроме того, являются слишком специальными и редко приводят к более общим выводам, то эта книга рассматривается как эпоха в развитии математики скорее потому, что она содержит в себе первые следы искусства, характерного для алгебры, а не потому, что она обогатила новыми открытиями высшую арифметику. Главным образом более поздним исследователям, правда, немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу, — таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этой божественной науки и показали, какими богатствами она наполнена. Я, однако, не буду здесь перечислять, какие открытия принадлежат каждому из этих математиков в отдельности, так как это можно узнать из предисловия к дополнениям, которыми Лагранж снабдил «Алгебру» Эйлера, и из недавно вышедшего сочинения Лежандра, о котором скоро будет упоминаться; кроме того, об этом говорится в соответствующих местах настоящих «Арифметических исследований».
